las opciones no son neutras

La matemática del coronavirus

JUAN PETRYLA

Estamos en plena cuarentena para prevenirnos del ataque de un virus que se propagó a una velocidad inusitada por todo el mundo. Y dentro de toda la información que nos dan los medios de prensa (excesiva, amarilla y muchas veces sin fundamentos sólidos), hay mucha información acerca de modelos matemáticos utilizados para medir la evolución de la pandemia. Así todos hemos escuchado o visto a especialistas o periodistas referirse al crecimiento exponencial o al pico de la curva y a su aplanamiento sin una información adecuada acerca de sus alcances y limitaciones.

En primer lugar, aclaremos que estamos hablando de curvas de crecimiento en el contexto de un modelo matemático que pretende describir un fenómeno que no es matemático sino, en este caso, biológico. O sea, se trata de un conjunto de ecuaciones que traducen el avance de la pandemia en lenguaje matemático para, de esa manera, poder predecir su futuro comportamiento. Como todo modelo, es una aproximación más o menos cercana al fenómeno y, por ende, sus resultados dependerán de la calidad del modelo y de las simplificaciones que se hacen para caracterizarlo. Lo que se hace es traducir el fenómeno a un lenguaje matemático, resolver el problema matemático y expresar los resultados en el contexto del problema original.

Concretamente, en el caso de las pandemias, se utiliza el modelo SIR o alguna modificación del mismo, que fue ideado por los científicos A. G. McKendrick (médico) y W. O. Kermack (bioquímico) en el año 1927. Ellos dividieron a toda la población en tres conjuntos disjuntos: 

a) población sana S, b) población infectada I y c) población recuperada R. La unión de los tres conjuntos representa el conjunto N de toda la población. O sea que S + I + R = N.

Cuando nosotros pensamos en cómo evoluciona la enfermedad, lo que nos interesa conocer en un determinado tiempo es cuántas personas están en cada uno de esos conjuntos. O sea, necesitamos conocer el cambio que se produce en el número de personas pertenecientes a cada uno de los conjuntos. Para ello, McKendrick y Kermack propusieron las tres ecuaciones que siguen:

Modelo SIR de McKendrick y Kermack

En esas ecuaciones aparecen las funciones S, I y R que ya hemos definido. Además, hay dos parámetros que son h y k: h es lo que se conoce como “índice de transmisibilidad” (que es el número de personas que infecta una persona enferma) y k es la probabilidad de que una persona se recupere. Por último, los primeros términos de cada una de las ecuaciones son los cambios que sufre la población de cada conjunto en el tiempo, expresados mediante las derivadas. Por lo tanto, estamos ante un sistema de tres ecuaciones diferenciales. Podemos interpretar que esas derivadas nos cuantifican la población de cada conjunto un poco más tarde en función de la población que tenemos ahora.

Analicemos la primera ecuación, que corresponde a la variación de la población de gente sana. Vemos, en primer lugar, que tiene un signo negativo—lo cual es lógico, ya que esa población disminuye a medida que las personas se infectan y, por consiguiente, S(t) es una función decreciente. En todos los casos, el camino es el siguiente:

Lo que nos dice esta primera ecuación es que la variación de la cantidad de personas sanas en un determinado tiempo es una función decreciente que depende de la población de personas sanas así como de las infectadas.

La segunda ecuación nos caracteriza la variación de la población de personas infectadas en el tiempo. En su primer término se parece mucho a la primera ecuación. Y es lógico que sea así: la población de infectados tiene que ganar en número lo mismo que pierde el conjunto de personas sanas S. Así es que el primer término del segundo miembro tiene que ser igual al segundo miembro de la primera ecuación, pero con signo cambiado. El segundo término es igual (salvo el signo) al que define la variación de la población recuperada.

La tercera ecuación nos caracteriza la velocidad de crecimiento del número de personas recuperadas en la cual aparece el coeficiente b, antes definido.

Ahora bien, dadas las ecuaciones del modelo nos preguntamos: ¿qué forma tienen las curvas que representan este sistema? Estudiándolo, podemos concluir que el número de personas sanas desciende en el tiempo, el de personas recuperadas aumenta y el de las infectadas comienza creciendo, llega a un máximo y termina disminuyendo. Las curvas tienen el aspecto que se aprecia en el gráfico que sigue:

Modelo SIR básico

En este gráfico, la recta horizontal es la recta tangente a la curva de infectados en el máximo y, por ende, tiene pendiente nula. Sabemos que la derivada nos da la pendiente de la recta tangente a una curva y, por consiguiente, en el máximo, esa derivada debe ser nula. ¿Qué significa “aplanar la curva”? Significa que el máximo de la curva de infectados sea lo más bajo posible. ¿Cómo se puede analizar este aspecto desde el punto de vista matemático? Pues estudiando el comportamiento de la segunda ecuación. Sabemos que desde el punto matemático, el máximo de una función se encuentra en el punto donde la derivada de la misma es nula. Por lo dicho, podemos plantear la siguiente secuencia, a partir de la segunda ecuación del sistema:

Número de personas sanas

Lo importante de la última igualdad es que la cantidad de personas sanas es proporcional al cociente entre k y h. Como el índice de transmisibilidad h aparece en el denominador, para que el número de personas sanas aumente, tenemos que lograr que h sea menor que 1. De ahí el sentido de la cuarentena: si nos quedamos en casa, no contagiamos y ayudamos a que el índice de transmisibilidad disminuya. Como consecuencia de esto, logramos hacer crecer la cantidad de personas sanas S. En otras palabras, la cuarentena tiene dos beneficios muy evidentes: disminuye el número de infectados en el pico (“aplana la curva”) y, de esa forma, aumenta la cantidad de personas sanas.

Para terminar, me quiero referir a la función R, que es el conjunto de personas que se recuperan de la enfermedad. Hace unos días, el presidente chileno Sebastián Piñera, en un discurso, señaló que dentro de las personas recuperadas incluyen a los fallecidos, con el criterio de que los muertos ya no contagian:

Piñera incluye a los fallecidos dentro del conjunto de recuperados

Esto provocó grandes polémicas y surgieron críticas de todo tipo. En realidad, los dichos de Piñera no están equivocados, sino que fueron expresados por alguien que no conoce el modelo que se está utilizando y, por ello, no considera una hipótesis del modelo: entre los recuperados se incluyen los muertos no porque no contagien, sino porque en el lapso de tiempo en el que se estudia el modelo—además de los que mueren—también hay un número de personas que nacen y, por lo tanto, ambas cantidades, para el modelo, se supone son iguales.

El SIR es un modelo matemático y, como tal, pretende traducir el comportamiento de los contagios en fórmulas matemáticas. Sus resultados dependen de las hipótesis que se definan y de la fiabilidad de los datos que se tengan. A menor número de hipótesis, mayor será la precisión de los resultados obtenidos pero, también, mayor será la dificultad de hallarlos (más tiempo y mayor disponibilidad de capacidad informática). Como casi todo en la vida, la elección de un modelo u otro depende del balance que se requiera entre la precisión requerida y los costos para lograrla.

El modelo SIR tiene muchas variantes, todas ellas tendientes a mejorar su resultado. Sin embargo, todas esas variantes surgen a partir del modelo original presentado en este artículo. Su bondad depende fuertemente de los datos con los que se disponga y del valor que se dé a los coeficientes h y k. Como se trata de una enfermedad nueva, se cuenta con poca información confiable para alimentar al modelo.

Como una conclusión, podemos decir que la matemática cuenta con una herramienta para predecir el futuro con alguna certeza. Sin ninguna duda, nos dice que la cuarentena es la única vacuna con la que contamos en la actualidad. Las decisiones que tomen los dirigentes serán ideológicas: decretar una cuarentena estricta, que está probado salvar infinidad de vidas a un alto costo económico, o, por el contrario, evitar los costos económicos sin que importe el gran número de muertes. Mirando lo que sucede en Brasil y Estados Unidos, queda claro que sus respectivos gobiernos optaron por no dañar sus economías. Como estas opciones no son neutras, no pueden ser presentadas como dos posibles maneras de enfrentar a una pandemia con más o menos las mismas consecuencias. Hay que decir claramente que la cuarentena prioriza la salud de la población y que cualquier política que evita la cuarentena prioriza a la economía sin pensar en las personas. El capitalismo no piensa en la salud, y si lo dejamos funcionar sin regularlo (sea en época de pandemia o no), obtendremos como resultado un pequeño grupo de personas muy ricas, un gran grupo de personas pobres e incontables muertos. Para mí, la decisión está clara.